Vektor

February 5, 2013

Materi Vektor bagi sebagian siswa dianggap materi yang sulit, padahal didalam kisi-kisi soal Ujian Nasional Matematika SMA Program Studi IPA tahun pelajaran 2012/2013, khususnya untuk materi vektor, terdapat tiga indikator, yaitu :

Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.

Oleh karena itu, disini akan saya berikan contoh-contoh soal dan penyelesaiannya.

Ringkasan Materi

Sudut Antar Dua Vektor.Apabila $\fn_cm \theta$ merupakan sudut antara vektor $\fn_cm \overrightarrow{a}$ dan vektor $\fn_cm \overrightarrow{b}$ maka
$\fn_cm \cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}$

Harus diingat pula bahwa, misalkan :
$\fn_cm \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\a_{3} \end{pmatrix}$ $\fn_cm ; \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\b_{3} \end{pmatrix}$
$\fn_cm \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}$

$\fn_cm |\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}\: dan\: |\overrightarrow{b}|=\sqrt{b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2}$

Proyeksi.
Panjang proyeksi vektor $\fn_cm \overrightarrow{a}$ pada vektor $\fn_cm \overrightarrow{b}$ (proyeksi skalar) adalah :
$\fn_cm |\overrightarrow{c}|=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$
Proyeksi vektor orthogonal atau proyeksi vektor dari vektor $\fn_cm \overrightarrow{a}$ pada vektor $\fn_cm \overrightarrow{b}$ adalah :
$\fn_cm \overrightarrow{c}=\left ( \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^{2}} \right ).\overrightarrow{b}$

Contoh soal dan pembahasannya :

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan C(4, 2, -4). Besar sudut ABC = ….
$\inline \fn_cm A.\: \pi \: \:\:\: \:\: \: B.\: \frac{\pi }{2}\:\: \: \: \:\: \: C.\: \frac{\pi }{3}\: \: \: \: \: \: \: D.\: \frac{\pi }{6}\:\: \: \: \: \: \: E.\: 0$
Ujian Nasional 2010/2011)
Penyelesaian :

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), dan C(4, 2, -4).
$\inline \fn_cm \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1\\3 \end{pmatrix},\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\-1 \end{pmatrix},dan \overrightarrow{c}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2\\-4 \end{pmatrix}$
Misalkan $\inline \fn_cm \theta$ adalah besar sudut ABC, hal ini berarti $\inline \fn_cm \theta$ adalah sudut antara vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{BA}$ dan vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{BC}$
$\inline \fn_cm \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1\\3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\-1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\2\\4 \end{pmatrix}$
$\inline \fn_cm \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} 4 \\2\\-4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\-1\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\3\\-3 \end{pmatrix}$
sehingga :
$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|.\overrightarrow{BC}|}=\frac{(3.2)+(2.3)+(4.-3)}{\sqrt{(3)^2+(2)^2+(4)^2}\: .\: \sqrt{(2)^2+(3)^2+(-3)^2}}$
$=\frac{6+6-12}{\sqrt{9+4+16}.\sqrt{4+9+9}}=\frac{0}{\sqrt{29}.\sqrt{22}}=0$
$\cos \theta =0$ maka $\theta =\frac{\pi }{2}$
Jawaban : B
Diketahui vektor $\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$ dan vektor $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$ . Proyeksi vektor orthogonal vektor $\overrightarrow{a}$ pada vektor $\overrightarrow{b}$ adalah ….
$\inline \fn_cm A.\: \overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm B.\: \overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm C.\: \overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm D.\: 2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$
$\inline \fn_cm E.\: 6\overrightarrow{i}-8\overrightarrow{j}+6\overrightarrow{k}$
(Ujian Nasional 2010/2011)

Penyelesaian :

$\inline \fn_cm \overrightarrow{a}=4\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix} 4\\-2\\2 \end{pmatrix}$
$\inline \fn_cm \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix} 2\\-6\\4 \end{pmatrix}$
Misalkan $\inline \fn_cm \overrightarrow{c}$ adalah proyeksi vektor orthogonal vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{a}$ pada vektor $\inline \fn_cm \overrightarrow{b}$ maka :
$\inline \fn_cm \overrightarrow{c}=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|^2}.\overrightarrow{b}$
$\inline \fn_phv \overrightarrow{c}=\frac{(4.2)+(-2.-6)+(2.4)}{\left ( \sqrt{2^2+6^2+4^2} \right )^2}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})$
$\inline \fn_phv \overrightarrow{c}=\frac{8+12+8}{2^2+6^2+4^2}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})=\frac{28}{56}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})$
$\inline \fn_phv \overrightarrow{c}=\frac{1}{2}.(2\overrightarrow{i}-6\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k})=\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$
Jawaban : B

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

February 5, 2013

By achymsasak

Rumus Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

a. Bentuk Pangkat
1). Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka a pangkat n didefinisikan sebagai berikut :
$\inline \fn_cm a^{n}=\underbrace{a \: \: x \: \: a\:\: x\: ....x\: a}$
Pengertian pangkat tersebut diperluas, yaitu untuk $\inline \fn_cm a\neq 0$ berlaku :
$\inline \fn_cm a)\: \: a^{0}=1$
$\inline \fn_cm b)\: a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$
2). Sifat-sifat pengerjaan hitung bilangan berpangkat
$\inline \fn_cm a).\: \: a^{m}\: x\: a^{n}=a^{m+n}$
$\inline \fn_cm b).\: \: \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$
$\inline \fn_cm c).\: \: (a^{m})^{n}=a^{m.n}$
$\inline \fn_cm d).\: \: (a\, x\, b)^{n}=a^{n}\, x\, b^{n}$
$\inline \fn_cm e).\: \: \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\, \, \: b\neq 0$ b. Bentuk Akar
1). Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka :
$\inline \fn_cm a).\: \: b^{n}=a\, \Leftrightarrow \, \sqrt[n]{a}=b$
$\inline \fn_cm b).\: \: \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$
2). Sifat-sifat bentuk akar.
$\inline \fn_cm a).\: \: \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}$
$\inline \fn_cm b).\: \: p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a}=(p+q)\sqrt[n]{a}$
$\inline \fn_cm c).\: \: p\sqrt[n]{a}-q\sqrt[n]{a}=(p-q)\sqrt[n]{a}$
$\inline \fn_cm d).\: \: \sqrt[n]{a.b}=\sqrt[n]{a}\,\, x\, \sqrt[n]{b}$
$\inline \fn_cm e).\: \: \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\, ,b\neq \neq 0$
$\inline \fn_cm f).\: \: \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m.n]{a}$
3). Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
$\inline \fn_cm a).\: \: \frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\, x\, \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}$
$\inline \fn_cm b).\: \: \frac{a}{\sqrt{b}\, +\sqrt{c}}=\frac{a}{\sqrt{b}\, +\sqrt{c}}\, x\, \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$
$\inline \fn_cm =\frac{a}{b-c}(\, \sqrt{b}-\sqrt{c}\, \, )$ c. Logaritma
1). Jika a dan b bilangan positif dengan $\inline \fn_cm p\neq 1$ maka berlaku :
$\inline \fn_cm {}^{p}\log{a}=n\, \Leftrightarrow \, p^{n}=a$
Dari hubungan tersebut, diperoleh :
$\inline \fn_cm a).\, \, p^{0}=1\, \Leftrightarrow \, {}^{p}\log{1}=0$
$\inline \fn_cm b).\, \, p^{1}=p\, \Leftrightarrow \, {}^{p}\log{p}=1$
$\inline \fn_cm c).\, \, p^{n}=p^{n}\, \Leftrightarrow \, {}^{p}\log{p^{n}}=n$
2). Sifat-sifat logaritma
$\inline \fn_cm a).\, \, {}^{p}\log{ab}=\, {}^{p}\log{a}\, +\, {}^{p}\log{b}$
$\inline \fn_cm b).\, \, {}^{p}\log{\left ( \frac{a}{b} \right )}=\, {}^{p}\log{a}\, -\, {}^{p}\log{b}$
$\inline \fn_cm c).\, \, {}^{p}\log{a^{n}}=\, n\, x\, {}^{p}\log{a}$
$\inline \fn_cm d).\, \, {}^{p}\log{a}=\, \frac{{}^{n}\log{a}}{{}^{n}\log{p}}$
$\inline \fn_cm e).\, \, p^{{}^{p}\log{a}}=a$

Program Linier

February 4, 2013

By achymsasak

Menentukan Nilai Optimum dan Fungsi Tujuan

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut:

Tentukan model pertidaksamaan dari informasi soal dan gambarkan daerah selesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut pada bidang koordinat.
Tentukan garis selidik ax + by = k apabila fungsi objektifnya f(x, y) = ax + by, a, b, dan k bilangan real.
Untuk menentukan nilai maksimum fungsi objektif maka carilah garis selidik dengan nilai k terbesar dan melalui titik (-titik) pada daerah selesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi objektif maka carilah garis selidik dengan nilai k terkecil dan melalui titik (-titik) pada daerah selesaian.

Untuk lebih memahami penerapan langkah-langkah tersebut, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Seorang peternak ayam petelur harus memberi makanan untuk tiap 50 ekor/hari paling sedikit 150 unit zat A dan 200 unit zat B. Zat-zat tersebut tidak dapat dibeli dalam bentuk murni, melainkan teerdapat dalam makanan ayam M1 dan M2. Tiap kg makanan ayam M1 mengandung 30 unit zat A dan 20 unit zat B, dan makanan M2 mengandung 20 unit zat A dan 40 unit zat B. Jika harga M1 adalah Rp 225/kg dan harga M2 adalah Rp 250/kg, dan tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari. Berapakah banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur, supaya harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan zat-zat itu dipenuhi?

Ayam

Pembahasan Contoh Soal

Langkah pertama: Ubah permasalahan di atas menjadi model matematika. Misalkan x dan y secara berturut adalah banyaknya makanan M1 dan M2 yang harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur. Karena tiap 50 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan paling sedikit 150 unit zat A dan 200 unit zat B, tiap 1.000 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan paling sedikit 3.000 unit zat A dan 4.000 unit zat B maka. Dan karena tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari, maka 1.000 ekor ayam membutuhkan 125.000 gr atau 125 kg makanan tiap harinya. Sehingga permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.

30x + 20y ≥ 3.000
20x + 40y ≥ 4.000
x + y ≥ 125
x ≥ 0
y≥ 0
x, y bilangan cacah

Fungsi objektif dari permasalahan di atas adalah f(x, y) = 225x + 250y. Sebelum menggambar grafiknya, sebaiknya kita daftar titik-titik yang dilalui oleh garis-garis batas dari sistem pertidaksamaan di atas.

Tabel Titik-titik Koordinat

Apabila digambarkan, daerah selesaiannya seperti berikut.

Langkah kedua: Gambarkan garis selidik 225x + 250y = k.

Garis-garis Selidik

Setelah melihat gambar di atas, ternyata garis selidik yang melalui titik (50, 75) yang memiliki nilai k minimum (nilai k bisa dilihat pada sumbu y, semakin tinggi titik potong garis selidik terhadap sumbu y, maka semakin besar pula nilai k tersebut, dan sebaliknya). Untuk x = 50 dan y = 75, diperoleh nilai k-nya adalah 30.000.

Jadi, banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur supaya harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan zat-zat itu dipenuhi secara berturut-turut adalah 50 kg dan 75 kg. Semoga bermanfaat

Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

February 4, 2013

By achymsasak

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik diluar lingkaran

Ada beberapa metode atau teknik untuk memyelesaiakan masalah ini antara lain:

Menggunakan rumus
Menggunakan rumus garis singgung bergradien m
Menggunakan persamaan garis polar.

Menggunakan rumus
Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x₁,y₁) pada lingkaran (x-a)²+(y-b)²= r² adalah :
y-y₁=m(x-x₁)

dimana:

m =

Rumus ini sangat praktis digunakan tetapi sangat sulit dihafal, sehingga disarankan rumus ini hanya digunakan untuk mengecek hasil dari perhitungan menggunakan rumus Persamaan garis singgung dengan gradient atau garis polar

Contoh 1:
Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x² + y² = 25 yang melalui titik A(7,1)

Jawaban:

Gradien garis singgung pada lingkaran berpusat di (0,0) dengan jari-jari 5 dan melului titik (7,1) adalah

m	=
m	=
m₁	= atau m₂= –

Karena 7² + 1² = 50 > r² maka titik A diluar lingkaran

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 25 melalui titik A(7,1) adalah :

Persamaan garis singgung 1 yang melalui m₁= adalah
y= (x-7)+1

3y=4x-28+3

4x-3y=25

Persamaan garis singgung 2 yang melalui m₂=- adalah
y= – (x-7)+1

4y=-3x+21+4

3x+4y=25

Menggunakan rumus persaan garis singgung bergradien m
Teknik ini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui A(x₁,y₁) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgung bergradien m.

Contoh:
Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang melalui titik A(7,1)

Jawaban:

Persamaan 1	y-y1 = m(x-x1) y-1 = m (x-7) y= mx –7m +1	……….. i)

Persamaan 2	y= mx r y= mx 5	……….. ii)

Dari persamaan 1 dan 2 disamakan diperoleh :
Persamaan 1 = Persamaan 2
mx 5 = mx –7m +1
5 = –7m +1
25 ( 1+m²)= 49m²– 14m +1
25+ 25m²= 49m²– 14m +1
24 m² –14m-24 =0
(4m+3)(3m-4)=0
m₁= – atau m₂ =

Persamaan garis singgung 1 dengan m₁= adalah
y= (x-7)+1
3y=4x-28+3
4x-3y=25

Persamaan garis singgung 2 dengan m₂=- adalah
y= – (x-7)+1
4y=-3x+21+4
3x+4y=25

Menggunakan persamaan garis polar
Teknik ini menggunakan rumus garis polar xx₁ + yy₁ = r₂

Langkah-langkah :

tentukan persamaan garis polar xx₁ + yy₁ = r²
tentukan titik potong garis polar dengan lingkaran (T1 dan T2)
subtitusikan dua titik potong tersebut ke persamaan garis singgung xx₁ + yy₁ = r²

Contoh:
Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x² + y² = 25 yang melalui (7,1)

Jawaban:

Persamaan garis polar adalah :
xx₁ + yy₁ = r²
7x + y = 25
y= 25-7x

Titik potong garis polar dengan lingkaran adalah :
x² + (25-7x)² = 25
x² + 625-350x +49 x² = 25
50×2 -350x +600 = 0
x² –7 x +12 = 0
(x-3)(x-4)=0
x=3 atau x=4

Untuk x=3 diperoleh y= 25-7.3 y= 4, sehingga titik potongnya ( 3,4)
Untuk x=4 diperoleh y= 25-7.4 y= -3, sehingga titik potongnya ( 4,-3)

Persamaan garis singgung 1 melalui titik singgung ( 3,4 ) adalah :
xx₁ + yy₁ = 25
3x + 4y = 25

Persamaan garis singgung 2 melalui titik singgung ( 4,-3 ) adalah :
xx₁ + yy₁ = 25
4x – 3y = 25

Limit Fungsi

February 4, 2013

By achymsasak

A. Pengertian Limit Fungsi

Limit merupakan salah satu pengetahuan dasar untuk mempelajari diferensial dan integral. Pada pasal ini kita akan mempelajari limit untuk fungsi-fungsi yang sederhana.

Contoh 1 :

Perhatikan fungsi f(x) = 2x + 1 untuk x Є real, kita ambil untuk nilai x mendekati 3 maka nilai f(x) = 2x + 1 hasilnya akan tampak pada tabel di bawah ini :

x	…	2,96	2,98	2,99	3	3,01	3,02	3,04	…
f(x) = 2x + 1	…	6,92	6,98	6,98	7	7,02	7,04	7,08	…

Dari tabel di atas terlihat bahwa jika x bergerak semakin dekat ke 3 nilai f(x) bergerak semakin dekat ke 7. Dalam matematika hal ini dapat dibaca “ jika x mendekati 3 maka 2x + 1 nilainya mendekati 7 atau limit dari f(x) = 2x + 1 mendekati 3 adalah 7”.

Dalam notasi ditulis :

Contoh 2 :

Perhatikan fungsi untuk semua x kecuali x = 3.

Fungsi f(x) dapat ditulis .

Selanjutnya kita lihat nilai f(x) untuk x yang mendekati 3, hasilnya tampak pada tabel di bawah ini :

x	…	2,96	2,98	2,99	3	3,01	3,02	3,03
f(x)	…	5,92	5,96	5,98	…	6,01	6,02	6,03

Dari tabel di atas terlihat jika x bergerak semakin dekat ke 3 maka nilai f(x) semakin dekat ke 6. Jadi limit f(x) jika mendekati 3 adalah sama dengan 6 ditulis :

B. Limit Fungsi Aljabar

1. Jika variabelnya mendekati bilangan real

Cara penyelesaiannya :

a. Langsung disubstitusikan asal hasilnya bukan bilangan tak tentu. Bilangan tak tentu adalah

b. Jika disubstitusikan menghasilkan bilangan tak tentu maka terlebih dahulu harus :

disederhanakan

difaktorkan

disubstitusikan

Contoh :

1).

Karena hasilnya bukan bilangan tak tentu maka

2).

2. Jika variabelnya mendekati ~

Untuk menyelesaikan limit yang variabelnya mendekati ~ (tak hingga), maka caranya pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi. Untuk setiap n bilangan bulat positif maka

Rumus rumus Trigonometri

February 4, 2013

By achymsasak

Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Trigonometri (berasal dari bahasa Yunani yaitu: trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri juga memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Kuadran dalam Trigonometri:

Kali ini, akan disinggung sedikit mengenai rumus-rumus yang biasa dipakai di dalam Trigonometri. Di antaranya adalah “Rumus-rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut”.

Rumus untuk “Sinus”:

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,$

$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,$

Rumus untuk “Cosinus”:

$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,$

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,$

Rumus untuk “Tangen”:

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,$

$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,$

Peluang

February 4, 2013

By achymsasak

Kaidah Pencacahan

Untuk mengerti tentang Kaidah Pencacahan dalam peluang, pertama-tama, perhatikanlah contoh-contoh di bawah ini:

Contoh 1:
Untuk pergi dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan 3 jalan. Dan kota B ke kota C dapat ditempuh dengan 2 jalan. Dengan berapa cara seseorang dapat pergi dari kota A ke kota C melalui kota B?

Skema Kota A, B, C

(Jawaban)
Kita buat skema kota dengan jalan yang bisa ditempuh. Lihat gambar di samping.


Cara tempuh kota A-kota C

Lalu, dari gambar tersebut, kita dapat menemukan jawabannya, perhatikan gambar di samping.

Maka, dari gambar di samping dapat diketahui bahwa terdapat 6 cara yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C melalui kota B.
Namun, bagaimana bila terdapat lebih dari 5 cara dari kota A ke kota B dan dari 7 cara dari kota B ke kota C?
Nah, bila diperhatikan, maka dapat kita ambil sebuah kesimpulan dari penyelesaian di samping, dengan melihat bahwa ada 3 jalan dari kota A ke kota B, dan 2 jalan dari kota B ke kota C, maka kita akan mendapatkan hasil yang sama dengan cara yang singkat, yaitu dengan mengkalikan keduanya, 3 x 2 = 6. Maka, bila terdapat soal sejenis dengan jalan yang banyak, kita tinggal mengkalikannya saja.

Contoh 2:
Terdapat bilangan 1,2,3, dan 4. berapa banyak bilangan yang terdiri atas 2 angka dapat dibentuk, di mana tidak boleh ada angka pengulang.

(Jawaban)

Penyelesaian

Lihat gambar di samping. Maka, ada 12 bilangan yang dapat dibentuk.
Bila. kita perhatikan, maka kita dapat menggunakan cara yang lebih singkat untuk menyelesaikan soal di atas (dan soal sejenis).

Perhatikan:
Bilangan terdiri dari 2 angka, maka 2 angka itu adalah, angka puluhan, dan satuan, dan tidak boleh ada angka pengulang.
Maka, dalam kasus di soal ini, kita dapat simpulkan:
Puluhan: 4 cara
Satuan: 3 cara.
maka, 4 x 3 = 12.
Dengan begitu, kita dapat menyelesaikan soal yang sejenis, berapa pun banyaknya.

KESIMPULAN
Jika suatu peristiwa dapat terjadi dalam p cara yang berbeda dan setelah peristiwa itu terjadi, kemudian peritiwa lain terjadi dalam q cara yang berbeda, maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dalam p x q cara yang berbeda

Statistika

February 4, 2013

By achymsasak

PENGERTIAN DASAR

Pendahuluan

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data.

Istilah ‘statistika’ (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan ‘statistik’ (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.

Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.

Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.

Sejarah

Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium (“dewan negara”) dan bahasa Italia statista (“negarawan” atau “politikus”).

Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai “ilmu tentang negara (state)”. Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi “ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data”. Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.

Konsep dasar

Populasi adalah kumpulan dari keseluruhan pengukuran, obyek, atau individu yang sedang dikaji sedangkan Sampel adalah bagian dari suatu populasi. Bilangan/angka yang menggambarkan karakteristik populasi disebut Parameter, sedangkan bilangan/angka yang menggambarkan karakteristik sampel disebut Statistik

Pengumpulan data untuk seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasi seluruh populasi.

Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan kesimpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling.

Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya hal terlihat banyak digunakannya uji statistika yang mengambil dasar pada sebaran peluang. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematika untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika.

Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial.

Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna.
Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya.

Tipe pengukuran

Ada empat tipe pengukuran atau skala pengukuran yang digunakan di dalam statistika, yakni: nominal, ordinal, interval, dan rasio. Keempat skala pengukuran tersebut memiliki tingkat penggunaan yang berbeda dalam riset statistik.

Skala nominal hanya bisa membedakan sesuatu yang bersifat kualitatif (misalnya: jenis kelamin, agama, warna kulit).
Skala ordinal selain membedakan juga menunjukkan tingkatan (misalnya: pendidikan, tingkat kepuasan).
Skala interval berupa angka kuantitatif namun tidak memiliki nilai nol mutlak (misalnya: tahun, suhu dalam Celcius).
Skala rasio berupa angka kuantitatif yang memiliki nilai nol mutlak.

Teknik-teknik statistika

Beberapa pengujian dan prosedur yang banyak digunakan dalam penelitian antara lain:

Statistika Terapan

Bebebarapa ilmu pengetahuan menggunakan statistika terapan sehingga mereka memiliki terminologi yang khusus. Disiplin ilmu tersebut antara lain:

Aktuaria (penerapan statistika dalam bidang asuransi)
Biostatistika atau biometrika (penerapan statistika dalam ilmu biologi)
Statistika bisnis
Ekonometrika
Psikometrika
Statistika sosial
Statistika teknik atau teknometrika
Fisika statistik
Demografi
Eksplorasi data (pengenalan pola)
Literasi statistik
Analisis proses dan kemometrika (untuk analisis data kimia analis dan teknik kimia)

Statistika memberikan alat analisis data bagi berbagai bidang ilmu. Kegunaannya bermacam-macam: mempelajari keragaman akibat pengukuran, mengendalikan proses, merumuskan informasi dari data, dan membantu pengambilan keputusan berdasarkan data. Statistika, karena sifatnya yang objektif, sering kali merupakan satu-satunya alat yang bisa diandalkan untuk keperluan-keperluan di atas.

Peranan, perlunya dan fungsi statistik

Peranan statistik :

Dalam kehidupan sehari-hari

Dalam kehidupan sehari-hari statistik memiliki peranan sebagai penyedia keterangan-keterangan untuk diolah dan ditafsirkan

Dalam penelitian

Dalam penelitian ilmiah statistic digunakan sebagai alat untuk menemukan keterangan-keterangan dalam angka-angka hasil penelitian

Dalam ilmu pengetahuan

Dalam ilmu pengetahuan statistik digunakan sebagai peralatan analis dan interpretasi dari data kuantitatif ilmu pengetahuan sehingga didapat pengetahuan dari data tsb.

Perlunya statistik :

Perlunya mempelajari statistik karena statistik sebagai alat bantu dalam hal-hal sbg berikut :

menjelaskan hubungan antara variabel
membuat rencana dan ramalan
mengatasi berbagai perubahan
membuat keputusan yang lebih baik

Fungsi Statistik :

sebagai bank data, menyediakan data untuk diolah dandiinterpretasikan agar dapat dipakai untuk menerangkan keadaan yang perlu diketahui
sebagai alat quality control, sebagai alat pembantu standarisasi dan alat pengawasan
sebagai alat analisis
pemecah masalah dan pembuatan keputusan

Pembagian statistik berdasarkan ruang lingkup penggunaannya:

Statistik social
Statistik pendidikan
Statistik ekonomi
Statistik perusahaan
Statistik pertanian
Statistk kesehatan

Pembagian statistik berdasarkan bentuk parameternya:

Statistik parametrik

Statistik parametrik adalah bagian statistik yang parameternya dari populasinya mengikuti suatu distribusi tertentu.

Statistik nonparametrik

Statistik parametrik adalah bagian statistik yang parameternya dari populasinya tidak mengikuti suatu distribusi tertentu

Metodologi Statistik

Metodologi statistik dalam menyelesaikan masalah mempunyai tahapan-tahapan sbb:

Identifikasi masalah
Pengumpulan data atau fakta

Pada tahap ini data dikumpulkan berdasarkan permasalahan. Data yang dikumpulkan bisa berupa data primer ( data yang berasal dari sumber langsung) atau berupa data sekunder ( data yang berasal tidak langsung dari sumber). Data yang diambil harus bersifat :

akurat, artinya harus sesuai dengan keadaan yang sebenarnya
up to date, artinya harus tepat waktu
komprehensif, artinya harus dapat mewakili
relevan, artinya harus ada hubungannya dengan masalah yang diambil
memiliki kesalahan baku kecil

Klasifikasi data

Data yang ada diidentifikasikan berdasarkan kemiripan atau kesamaan sifat, kemudian disusun dalam kelompok-kelompok.

Penyajian data

Pada tahap ini data disajikan bias dalam bentuk tabel, grafik atau ditampilkan nilai-nilai deskriptifnya

Analisis data

Pada tahap ini data dianalisis untuk diambil kesimpulan dari permasalahan, hasilnya berupa keputusan.

Jenis Data

A. Jenis Data Menurut Cara Memperolehnya

1. Data Primer

Data primer adalah secara langsung diambil dari objek / obyek penelitian oleh peneliti perorangan maupun organisasi. Contoh : Mewawancarai langsung penonton bioskop 21 untuk meneliti preferensi konsumen bioskop.

2. Data Sekunder

Data sekunder adalah data yang didapat tidak secara langsung dari objek penelitian. Peneliti mendapatkan data yang sudah jadi yang dikumpulkan oleh pihak lain dengan berbagai cara atau metode baik secara komersial maupun non komersial. Contohnya adalah pada peneliti yang menggunakan data statistik hasil riset dari surat kabar atau majalah.

B. Macam-Macam Data Berdasarkan Sumber Data

1. Data Internal

Data internal adalah data yang menggambarkan situasi dan kondisi pada suatu organisasi secara internal. Misal : data keuangan, data pegawai, data produksi, dsb.

2. Data Eksternal

Data eksternal adalah data yang menggambarkan situasi serta kondisi yang ada di luar organisasi. Contohnya adalah data jumlah penggunaan suatu produk pada konsumen, tingkat preferensi pelanggan, persebaran penduduk, dan lain sebagainya.

C. Klasifikasi Data Berdasarkan Jenis Datanya

1. Data Kuantitatif

Data kuantitatif adalah data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka. Misalnya adalah jumlah pembeli saat hari raya idul adha, tinggi badan siswa kelas 3 ips 2, dan lain-lain.

2. Data Kualitatif

Data kualitatif adalah data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang mengandung makna. Contohnya seperti persepsi konsumen terhadap botol air minum dalam kemasan, anggapan para ahli terhadap psikopat dan lain-lain.

D. Pembagian Jenis Data Berdasarkan Sifat Data

1. Data Diskrit

Data diskrit adalah data yang nilainya tercacah.

2. Data Kontinyu

Data kontinyu adalah data yang nilainya terletak pada suatu interval tertentu. Contohnya adalah berat badan ibu-ibu, IP mahasiswa

E. Jenis-jenis Data Menurut Waktu Pengumpulannya

1. Data Cross Section

Data cross-section adalah data yang menunjukkan titik waktu tertentu. Contohnya laporan keuangan per 31 desember 2006, data pelanggan PT. angin ribut bulan mei 2004, dan lain sebagainya.

2. Data Time Series / Berkala

Data berkala adalah data yang datanya menggambarkan sesuatu dari waktu ke waktu atau periode secara historis. Contoh data time series adalah data perkembangan nilai tukar dollar amerika terhadap euro eropa dari tahun 2004 sampai 2006, jumlah pengikut jamaah nurdin m. top dan doktor azahari dari bulan ke bulan, dll.

Logika Matematika

February 3, 2013

By achymsasak

Logika merupakan ilmu yang mempelajari aturan – aturan matematika, sains, hukum, dan bidang lainnya.Logika berhubungan dengan Pernyataan. Oleh karena itu, dalam logika hanya terdapat dua kemungkinan kebenarannya, yaitu benar atau salah.Dalam pengoperasian komputer hanya dikenal dua kondisi analog dengan logika yaitu ada atau tidakadanya Aliran Listrik. Kondiri ini dapat diartikan dalam bahasa logika sebagai kondiri “True” atau “False”.Masih ingatkah kamu akan bilangan binar? Sistem bilangan inilah yang digunakan dalam setiap instruksi pada komputer. Istruksi ini pada dasasrnya merupakan serangkaian kombinasi logis.Pernyataan dan bukan pernyataan.Kalimat merupakan rangkaian kata – kata yang disusun sedemikian rupa sehingga memiliki arti yang utuh. Kalimat itu sendiri dikelompokan menjadi 4(empat) kelompok, yitu : Kalimat pernyataan dan bukan pertanyaan.

Dalam Matematika, kalimat yang penting adalah kalimat Pernyataan(deklaratif). Kalimat seperti ini memiliki ciri khusus, yaitu kita dapat menentukan kalimat itu sebagai kalimat yang benar saja atau sebagai kalimat yang salah salah saja.

contoh

A. Sembilan adalah bilangan ganjil.B. Kucing adalah hewan yang tidak suka makan ikan.C.Ibukota Indonesia adalah Yogyakarta.D. Pada segitiga siku – siku berlaku kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi – sisi yang lain.Kalimat (a) – (d) merupakan kalimat pernyataan, mengapa?Pada kalimat (a) – (d) kita dapat menentukan bahwa kalimat – kalimat tersebut adalahbenar dan kalimat (b) dan (C) adalah kalimat yang salah.

Dari penjelasan di atas, kita peroleh definisi berikut:

Pertanyaan adalah kalimat yang hanya mempunyai nilai Benar atau Salah saja, tetapi tidak sekaligus kedua – keduanya.

Perhatian contoh berikut !

E. x+5 = 17.

F. P adalah bilangan prima.

G. Ani adalah gadis yang cantik.

H. Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat.

Kalimat (E) – (H) merupakan kalimat bukan pernyataan =. Pada kalimat tersebyut kita nggak dapat menjelaskan apakah kalimat itu benar atau salah.

Klimat “X+ 15 = 17″ bukan kalimat pernyataan karena bila X diganti dengan 12, maka 12 + 5 = 17 menjadi pernyataan yang benar, tetapi bila X diganti dengan 7, naja 7+5 = 17 maka pernyataan yang salah/

Kalimat “P adalah bilangan Prima” merupakan bukan pernyataan karena bila p diganti dengan 0, maka pertanyaan ” 0 bilangan prima” bernilai salah, tetapi bila P diganti dengan 3, maka pernyataan “3 adalah bilangan Prima” bernilai benar.

Kalimat ” Ani adalah gadis yang cantik” bukan merupakan pernyataan karena keterangan cantik adalah relatif, cantik menurut si A tetapi tidak cantik menurut si B.

Demikian pula halnya untuk kalimat “Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat” merupakan bukan pernyataan karena dekat itu relatif. Jarak antara Jakarta dan Surabaya dekat apabila dibandingkan dengan Jarak antara Jakarta dan Lost Angeles sehingga menjadi pernyataan yang benar, tetapi bila dibandingkan dengan jarak antara Jakarta dan Bandung maka pernyataan menjadi salah.

Fungsi Komposisi

February 3, 2013

By achymsasak

Sebuah fungsi bisa diibaratkan sebagai sebuah mesin. Kalau mesin mengubah bahan mentah menjadi bahan jadi, sedangkan fungsi bisa mengubah suatu himpunan yang satu menjadi himpunan yang lain. Untuk mengubah suatu bahan mentah menjadi bahan jadi mungkin dibutuhkan sebuah mesin atau lebih. Begitu pun dengan fungsi. Suatu himpunan bisa dipetakan oleh sebuah fungsi atau lebih. Misalkan kita akan mengubah kentang menjadi snack yang menarik. Tentunya minimal kita memerlukan mesin pengupas kentang, mesin penggoreng kentang, dan mesin pengemasnya. Untuk memproduksi snack berbahan dasar kentang tersebut, urutan pengerjaannya tidak bisa ditukar. Nah, fungsi komposisi bisa diibaratkan dengan mesin yang banyak tersebut. OK, kita mulai pembahasan tentang fungsi komposisi berikut ini.

Misalkan saya mempunyai himpunan A, himpunan B, dan himpunan C. Saya juga mempunyai dua buah fungsi yaitu g yang memetakan himpunan A ke himpunan B dan fungsi f yang memetakan himpunan B ke himpunan C. Bila digambarkan dalam diagram panah akan menjadi seperti berikut.

Fungsi yang memetakan himpunan A langsung ke himpunan C dinamakan dengan fungsi komposisi f terhadap g yang ditulis sebagai . Dari penjelasan tersebut, diperoleh definisi dari fungsi komposisi sebagai berikut.

Ada tiga masalah utama dalam pembahasan fungsi komposisi ini, yaitu sebagai berikut.

Diketahui fungsi f dan fungsi g, ditanyakan fungsi komposisinya.
Diketahui fungsi f dan fungsi komposisi , ditanyakan fungsi g.
Diketahui fungsi g dan fungsi komposisi , ditanyakan fungsi f.

Kunci utama untuk menyelesaikan masalah pada fungsi komposisi adalah definisi fungsi komposisi yang telah dibahas sebelumnya.

Diketahui fungsi f dan fungsi g, ditanyakan fungsi komposisi keduanya.
Pada kasus ini, fungsi f dan fungsi g diketahui. Yang menjadi pertanyaan mungkin komposisi f terhadap g atau sebaliknya. Ingat ya, operasi komposisi fungsi ini tidak berlaku komutatif. Jadi, perhatikan permasalahannya supaya tidak tertukar.

Contoh soal:
Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan fungsi . Tentukan fungsi komposisi berikut ini.
a.
b.
c.
d.
Jawaban a

Jawaban b

Jawaban c
Untuk jawaban c bisa didapatkan dengan substitusi langsung ke jawaban a. Bila soal diberikan secara langsung tanpa bertahap seperti contoh ini, kita bisa menyelesaikan secara lebih mudah sebagai berikut.

Jawaban d
Sama dengan penjelasan jawaban c. Soal ini bisa diselesaikan dengan cara langsung tanpa perlu mencari fungsi komposisinya terlebih dahulu.

Untuk pembahasan lainnya akan dilanjutkan di post berikutnya.

Putra Kalijaga

wahana mengembangkan Potensi

Category Archives: Matematika

Vektor

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Rumus Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

Program Linier

Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

Limit Fungsi

Rumus rumus Trigonometri

Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Peluang

Statistika

Jenis Data

Logika Matematika

Fungsi Komposisi