Program Linier

Menentukan Nilai Optimum dan Fungsi Tujuan

Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode garis selidik, lakukanlah langkah-langkah berikut:

1. Tentukan model pertidaksamaan dari informasi soal dan gambarkan daerah selesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut pada bidang koordinat.
2. Tentukan garis selidik ax + by = k apabila fungsi objektifnya f(x, y) = ax + by, a, b, dan k bilangan real.
3. Untuk menentukan nilai maksimum fungsi objektif maka carilah garis selidik dengan nilai k terbesar dan melalui titik (-titik) pada daerah selesaian. Sedangkan untuk menentukan nilai minimum fungsi objektif maka carilah garis selidik dengan nilai k terkecil dan melalui titik (-titik) pada daerah selesaian.

Untuk lebih memahami penerapan langkah-langkah tersebut, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Seorang peternak ayam petelur harus memberi makanan untuk tiap 50 ekor/hari paling sedikit 150 unit zat A dan 200 unit zat B. Zat-zat tersebut tidak dapat dibeli dalam bentuk murni, melainkan teerdapat dalam makanan ayam M1 dan M2. Tiap kg makanan ayam M1 mengandung 30 unit zat A dan 20 unit zat B, dan makanan M2 mengandung 20 unit zat A dan 40 unit zat B. Jika harga M1 adalah Rp 225/kg dan harga M2 adalah Rp 250/kg, dan tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari. Berapakah banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur, supaya harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan zat-zat itu dipenuhi?

Pembahasan Contoh Soal

Langkah pertama: Ubah permasalahan di atas menjadi model matematika. Misalkan x dan y secara berturut adalah banyaknya makanan M1 dan M2 yang harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur. Karena tiap 50 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan paling sedikit 150 unit zat A dan 200 unit zat B, tiap 1.000 ekor ayam dalam tiap harinya harus makan paling sedikit 3.000 unit zat A dan 4.000 unit zat B maka. Dan karena tiap ekor membutuhkan 125 gr makanan/hari, maka 1.000 ekor ayam membutuhkan 125.000 gr atau 125 kg makanan tiap harinya. Sehingga permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.

30x + 20y ≥ 3.000
20x + 40y ≥ 4.000
x + y ≥ 125
x ≥ 0
y≥ 0
x, y bilangan cacah

Fungsi objektif dari permasalahan di atas adalah f(x, y) = 225x + 250y. Sebelum menggambar grafiknya, sebaiknya kita daftar titik-titik yang dilalui oleh garis-garis batas dari sistem pertidaksamaan di atas.

 

Apabila digambarkan, daerah selesaiannya seperti berikut.

Langkah kedua: Gambarkan garis selidik 225x + 250y = k.

Setelah melihat gambar di atas, ternyata garis selidik yang melalui titik (50, 75) yang memiliki nilai k minimum (nilai k bisa dilihat pada sumbu y, semakin tinggi titik potong garis selidik terhadap sumbu y, maka semakin besar pula nilai k tersebut, dan sebaliknya). Untuk x = 50 dan y = 75, diperoleh nilai k-nya adalah 30.000.

Jadi, banyaknya makanan M1 dan M2 harus dibeli tiap hari untuk 1000 ekor ayam petelur supaya harganya semurah-murahnya dan kebutuhan akan zat-zat itu dipenuhi secara berturut-turut adalah 50 kg dan 75 kg. Semoga bermanfaat

Sulap Matematika

Sulap Angka

Sudah bukan rahasia lagi bila mata pelajaran matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang dianggap sulit oleh sebagian besar siswa. Oleh sebab itu perlu dikembangkan pembelajaran yang mampu meningkatkan minat siswa untuk belajar matematika. Dengan meningkatnya minat siswa untuk belajar matematika diharapkan daya serap siswa terhadap bahan ajar semakin meningkat, yang pada akhirnya hasil belajar siswa juga mengalami peningkatan. Diharapkan pula akan terjadi pergeseran anggapan terhadap mata pelajaran matematika, dari mata pelajaran yang sulit menjadi mata pelajaran yang tidak sulit.

Salah satu pembelajaran yang dapat meningkatkan minat siswa untuk belajar matematika adalah pembelajaran matematika dengan permainan sulap matematika (selanjutnya disebut permainan sulap matematika). Permainan sulap matematika adalah pembelajaran matematika yang diawali, diakhiri, atau disajikan bersamaan dengan kegiatan permainan sulap, sedemikian hingga rahasia permainan sulap mengandung konsep, prinsip atau prosedur dalam matematika.

A. Jenis Permainan Permainan Sulap Matematika

Secara umum ada dua jenis permainan sulap matematika, yaitu permainan sulap matematika sebagai bentuk kegiatan yang menyenangkan dan permainan sulap yang terintegrasi dengan pembelajaran matematika.

1. Permainan Sulap Matematika sebagai Bentuk Kegiatan yang Menyenangkan

Permainan sulap matematika ini dapat diberikan di awal pembelajaran, di tengah proses pembelajaran atau di akhir pembelajaran. Dengan selalu disajikan permainan sulap matematika diharapkan suasana belajar matematika menjadi tidak membosankan dan siswa lebih tertarik belajar matematika. Bahkan dalam beberapa permainan sulap matematika ada pengetahuan baru yang membantu memudahkan dalam menyelesaikan masalah-masalah matematika meskipun tidak terkait langsung dengan materi pembelajaran.

Contoh:

Setelah membuka kegiatan pembelajaran, guru menyampaikan pada siswa bahwa bila siswa-siswa mengikuti kegiatan pembelajaran dengan baik dan sungguh-sungguh, 5 menit menjelang jam berakhir, kegiatan pembelajaran diakhiri dan guru akan memberikan hadiah permainan sulap.

Setelah kegiatan pembelajaran diakhiri maka guru memberikan hadiah permainan sulap seperti pada dialog sebagai berikut.

Guru : Hari ini saya akan menghadiahi kalian permainan sulap mengubah sebarang bilangan asli menjadi 9. Coba siapa bisa mengubah bilangan 20 menjadi 9 dengan menggunakan operasi matematika yaitu tambah, kurang, kali, bagi atau yang lain. Siapa bisa?

Siswa 1 : Saya pak, 20 dibagi 2 dikurangi 1 menjadi 9.

Guru : Bagus, apa ada yang bisa dengan cara lain?

Siswa 2 : Saya pak, 20 dikurangi 11 menjadi 9.

Guru : Kamu juga benar, nah sekarang saya punya suatu bilangan yang tertulis dalam kertas ini (sebelumnya guru menyiapkan kertas dan menuliskan sebuah bilangan), tanpa melihat bilangan yang tertulis dalam amplop ini bisakah kalian mengubahnya menjadi sembilan?

Siswa-siswa : (serentak) tidak bisa pak.

Guru : Baiklah, sekarang kita balik, siapkan selembar kertas dan tulis sebuah bilangan sesuka kalian, boleh bilangan kecil atau besar yang penting bilangan asli. Ingat pengertian bilangan dan angka berbeda, 75 adalah bilangan yang terdiri dari dua angka yaitu angka 7 dan angka 5. 8 adalah bilangan yang terdiri dari satu angka yaitu 8.

(masing-masing siswa menyiapkan selembar kertas dan menulis sebuah bilangan asli sesukanya)

Guru : Coba ikuti perintah saya berikut ini

– kalikan bilangan yang kamu tulis dengan sembilan. Hasilnya berupa sebuah bilangan asli juga, ada yang terdiri dari 1 angka, 2 angka, 3 angka, 4 angka dan seterusnya. Jika hasilnya bilangan yang lebih dari satu angka maka ikuti langkah berikut, jika hasilnya berupa bilangan yang terdiri dari satu angka maka kamu harus berhenti.

– Untuk yang masih terus, perhatikan bilangan terakhir yang kamu peroleh. Jumlahkan angka-angka yang menyusun bilangan tersebut. Jika hasilnya bilangan yang lebih dari satu angka maka ikuti langkah berikut, jika hasilnya berupa bilangan yang terdiri dari satu angka maka kamu harus berhenti.

– Untuk yang masih terus lanjutkan terus sampai kamu memperoleh bilangan yang terdiri dari satu angka.

– Saya yakin bahwa semua siswa pasti berhenti menghitung pada saat bilangan terakhir adalah 9.

Siswa 1 : Kok bisa begitu pak?

Guru : Apa ada yang hasil akhirnya bukan 9? Silahkan acungkan tangan! (semua siswa terdiam tidak ada yang mengacungkan tangan). Baiklah akan saya jelaskan. Tapi karena waktunya habis maka penjelasannya saya berikan pada pertemuan yang akan datang, dengan syarat kalian semua mengerjakan pekerjaan rumah yang sudah saya berikan. Sanggup?

Siswa-siswa : (serentak) sanggup.

Guru : Baiklah, kalau begitu pelajaran hari ini saya akhiri. Wassalaamu’alaikum Wr. Wb.

Pada pertemuan berikut, sebagai hadiah siswa mengerjakan pekerjaan rumah, guru mengawali kegiatan dengan menjelaskan kenapa hasil akhirnya selalu sembilan sebagai berikut.

– Angka-angka pembentuk bilangan kelipatan sembilan bila dijumlahkan pasti juga kelipatan sembilan.

– Sebagai penjelasan sederhana perhatikan contoh berikut

7814 x 9 = 70326

maka 70326 adalah kelipatan sembilan, padahal

70326 dapat ditulis sebagai

=(7x10000)+(0x1000)+(3x100)+(2x10)+(6x1)

=(7x[9999+1])+(0x[999+1])+(3x[99+1])+(2x[9+1])+ (6x1)

=(7×9999)+(0x999)+(3×99)+(2×9)+7+0+3+2+6

=9x([7×1111]+[0x111]+[3×11]+2)+(7+0+3+2+6)

Karena 70326 kelipatan 9 maka 70326 habis dibagi sembilan, sehingga harusnya (7+0+3+2+6) juga bilangan kelipatan sembilan.

– Jika dilakukan penjumlahan terus menerus maka semakin lama hasil penjumlahannya semakin sederhana dan pada akhirnya diperoleh bilangan dengan satu angka yang merupakan kelipatan sembilan. Bilangan itu tidak lain adalah 9 itu sendiri.

2. Permainan Sulap Matematika Terintegrasi dengan Pembelajaran Matematika

Sebagian permainan sulap matematika dapat disajikan terintegrasi dengan materi atau bahan ajar yang diberikan, sebab rahasia permainan sulap tersebut dapat dipahami siswa setelah memahami lebih dahulu materi yang akan disajikan. Dengan cara demikian kemauan untuk memahami materi yang disajikan tumbuh dari dalam diri siswa karena termotivasi untuk mengetahui rahasia permainan sulap matematika tersebut.

Contoh:

Setelah membuka kegiatan pembelajaran dan memeriksa pekerjaan rumah, guru memotivasi belajar siswa dengan permainan sulap menebak uang yang disembunyikan sebagai berikut.

Guru : Hari ini kita akan mempelajari pengertian ruang sampel dan titik sampel, tapi sebelumnya sebagai hadiah karena kalian mengerjakan pekerjaan rumah dengan baik kita mulai dengan permainan sulap lebih dahulu

Siswa-siswa : (serentak) Asyik.

Guru : Saya minta tiga anak sukarela maju ke depan (misal yang maju Amir, Bayu dan Cicha. Perhatikan apa yang saya pegang. (guru mengeluarkan uang 5000 rupiah, 10000 rupiah dan 20000 rupiah) Uang ini akan menjadi hadiah untuk kalian semua asal ketiga anak ini mampu mengelabui saya dengan baik, tetapi bila saya bisa menebak dengan benar maka uangnya harus dikembalikan. Tolong masing-masing dari tiga anak yang di depan ini menyembunyikan satu lembar uang, gunakan strategi yang baik supaya saya tidak bisa menebak. Selama kalian memilih uang saya akan keluar ruangan dan bila uang sudah disembunyikan di saku masing-masing tolong satu anak memanggil saya.

(Guru keluar kelas, sementara tiga anak berunding untuk mengatur pemilihan uang yang disembunyikan)

Siswa 1 : (memanggil guru) Pak, sudah selesai.

Guru : Baiklah, ini ada 24 butir kacang untuk kamu bertiga (guru mengeluarkan 24 butir kacang sanghai) Silahkan kamu makan sebutir kacang ini Amir! Dan Bayu, silahkan kamu makan dua butir kacang ini! Untuk Cicha, silahkan kamu makan tiga butir kacang ini. (ketiga siswa memakan kacang yang diberi guru) Selanjutnya sisa kacang saya letakkan di meja dan kamu masing-masing saya minta ambil beberapa butir lagi untuk dimakan. Selama kamu mengambil lagi butir kacang, saya akan keluar kelas lagi. Bila selesai tolong satu anak memanggil saya. Adapun jumlah kacang yang harus dimakan adalah sebagai berikut

– Yang merasa menyembunyikan uang 5000 silahkan mengambil kacang sama banyak dengan kacang yang telah kamu makan tadi, dan kamu makan habis.

– Yang merasa menyembunyikan uang 10000 silahkan mengambil kacang dua kali dari banyak kacang yang telah kamu makan tadi, dan kamu makan habis.

– Yang merasa menyembunyikan uang 20000 silahkan mengambil kacang empat kali dari banyak kacang yang telah kamu makan tadi, dan kamu makan habis.

Paham?

Ketiga siswa : (menjawab serentak) paham, Pak.

(Guru keluar kelas, sementara ketiga siswa disaksikan temannya mengambil kacang sesuai aturan dan memakannya sampai habis)

Siswa 2 : (keluar menjemput guru) Sudah selesai Pak.

Guru : Baiklah, sekarang saya akan mulai menebak (guru memegang semua sisa kacang, misal sisa 3 kacang) Bismillahirrohmaanirrohim, sim salabim, Hai kacang tunjukkan siapa yang menyembunyikan uang lima ribu? (guru berbuat seolah oleh tangannya digerakkan oleh butiran-butiran kacang berputar-putar dan akhirnya menuju pada Amir). Bagaimana Amir, keluarkan uangmu!

Amir : Betul Pak, saya menyimpan uang 5000 rupiah.

Guru : Bismillahirrohmaanirrohim, sim salabim, Hai kacang tunjukkan siapa yang menyembunyikan uang sepuluh ribu? (guru berbuat seolah oleh tangannya digerakkan oleh butiran-butiran kacang berputar-putar dan akhirnya menuju pada Cicha). Bagaimana Chicha, keluarkan uangmu!

Chica : Lho, kok tahu Pak?

Siswa-siswa : Hore… (sambil tepuk tangan)

Guru : Ayo Bayu, kembalikan uang yang 20000 rupiah dan kalian bertiga boleh duduk kembali, terima kasih atas bantuannya (Bayu mengembalikan uang dan ketiga anak kembali ke tempat). Mau tahu rahasianya …? Kita tanya pada Galileo.

Siswa-siswa : Wah

Guru : Tidak, saya hanya bergurau. Untuk mengetahui rahasianya kamu harus paham dulu pengertian titik sampel dan ruang sampel. Untuk itu kita lanjutkan pelajaran, nanti bila kamu sudah paham kita cari bersama-sama rahasianya.

(Guru menyela permainan sulap dengan pembelajaran titik sampel dan ruang sampel sampai semua siswa paham. Setelah siswa dapat menentukan ruang sampel dari suatu kejadian guru melanjutkan kegiatan menemukan rahasia permainan sulap)

Guru : Baik, karena kalian telah bisa menentukan ruang sampel dari berbagai kejadian maka sekarang siapa bisa menyebutkan salah satu titik sampel untuk kejadian memilih tiga mata uang tersebut? Tolong diurut dari Amir, Bayu dan Chica

Siswa 3 : Saya Pak, Amir, Bayu dan Cicha masing-masing menyembunyikan uang 5000, 20000, 10000

Guru : Bagus, Ada yang bisa menyebutkan titik sampel yang lain?

Siswa 4 : 5000, 10000, dan 20000 Pak.

Siswa 5 : 10000, 20000, 5000

Siswa 6 : 10000, 5000, 20000

Siswa 7 : 20000, 5000, 10000

Siswa 8 : 20000, 10000, 5000

Guru : Benar, kamu semua benar. Apa masih ada kemungkinan yang lain?

(Semua siswa terdiam, berpikir dan tidak menemukan)

Guru : Jadi memang hanya ada enam titik sampel, jika ditulis maka ruang sampelnya adalah {(5000,10000,20000), (10000,5000,20000), (5000,20000,10000), (10000,20000,5000), (20000,5000,10000), (20000,10000,5000)}. Nah sekarang coba kalian isi tabel berikut.

(guru membuat tabel dan dengan tanya jawab siswa diarahkan untuk melengkapi isi tabel sebagai berikut)

Uang yang disembunyikan			Kacang yang diterima dan diambil			Banyak kacang	Sisa Kacang
A	B	C	A	B	C
5000	10000	20000	1 + 1	2 + 4	3 + 12	23	1
10000	5000	20000	1 + 2	2 + 2	3 + 12	22	2
5000	20000	10000	1 + 1	2 + 8	3 + 6	21	3
10000	20000	5000	1 + 2	2 + 8	3 + 3	19	5
20000	5000	10000	1 + 4	2 + 2	3 + 6	18	6
20000	10000	5000	1 + 4	2 + 4	3 + 3	17	7

Guru : Seperti pada contoh tadi, karena ada sisa tiga kacang, maka titik sampel yang sesuai adalah (5000,20000,10000). Itulah sebabnya saya bisa menebak dengan benar. Kalian bisa juga menjadi pesulap untuk teman-temanmu di rumah hanya dengan menghafalkan enam titik samplel tersebut sesuai dengan sisa kacang.

(guru melanjutkan kegiatan pembelajaran)

B. Beberapa Permainan Sulap Matematika

Sudah banyak permainan sulap yang disusun dan dikembangkan penulis sehingga dapat diterapkan dalam pembelajaran matematika. Beberapa permainan sulap lain, khususnya yang nampak integrasinya dalam pembelajaran matematika di SMP antara lain sebagai berikut.

1. Permainan Sulap Menebak Hari dan Pasaran Kelahiran

Permainan ini lebih tepat diberikan untuk melatih ketrampilan berhitung pada materi ”Bilangan”. Mula-mula guru meminta salah satu siswa menyebutkan tanggal, bulan dan tahun kelahiran (dipilih siswa yang sudah mengenal hari dan pasaran kelahirannya). Dengan berbuat seolah-olah pemain sulap guru menebak hari dan pasaran kelahiran siswa dengan benar.

Selanjutnya guru menyajikan cara menentukan hari dan pasaran kelahiran untuk tanggal 17 Agustus 1945 dengan langkah-langkah sebagai berikut.

a. Hitung nilai p yaitu hari ke-p dari tanggal dan bulan kelahiran dihitung mulai dari tanggal 1 Januari pada tahun yang dimaksud.

Nilai p untuk tanggal 17 Agustus 1945 adalah sebagai berikut

Januari : 31 hari

Pebruari : 28 hari (tahun 1945 bukan tahun kabisat)

Maret : 31 hari

April : 30 hari

Mei : 31 hari

Juni : 30 hari

Juli : 31 hari

Agustus : 17 hari (hanya sampai tanggal lahirnya 17 Agustus)

p = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 17 = 229

b. Hitung nilai q dengan rumus

(sisa pembagian diabaikan)

t adalah tahun kelahiran

Nilai q untuk tanggal 17 agustus 1945 adalah

(sisa diabaikan)

c. Hitung nilai x dan y dengan rumus

Nilai x dan y untuk tanggal 17 Agustus 1945 adalah

x = 229 + 486 = 715

y = 229 + 486 + 1945 =2660

d. Hitung nilai x dibagi 5, dan tentukan sisa hasil baginya.

Pasaran kelahiran ditentukan dari tabel berikut

SISA	PASARAN
0	LEGI
1	PAING
2	PON
3	WAGE
4	KLIWON

sisa 0.

Jadi pasarannya Legi

e. Hitung nilai y dibagi 7, dan tentukan sisa hasil baginya.

Hari kelahiran ditentukan dari tabel berikut.

SISA	HARI
0	JUM’AT
1	SABTU
2	MINGGU
3	SENIN
4	SELASA
5	RABU
6	KAMIS

sisa 0.

Jadi harinya Jum’at

Berdasar perhitungan tersebut maka tanggal 17 Agustus tahun 1945 jatuh pada hari Jum’at Legi

Untuk melatih ketrampilan siswa menebak hari dan pasaran kelahiran, siswa disuruh membuktikan bahwa tanggal 28 Oktober 1928 adalah hari Minggu Wage. Selanjutnya siswa diberi tugas rumah menghitung hari dan pasaran untuk kelahirannya sendiri, kelahiran orang tua dan saudara-daranya. Guru dapat memberikan motivasi bahwa untuk daerah tertentu (terutama di pulau Jawa) pemakaian hari dan pasaran kelahiran untuk acara-acara pernikahan, pengobatan alternatif, upacara-upacara adat, pindah rumah masih sangat diperlukan. Sehingga kemampuan siswa dalam menentukan hari dan pasaran kelahiran juga sangat dibutuhkan bahkan bisa dikomersialkan.

2. Permainan Sulap Menebak Deret Kesepuluh dari Sebarang Barisan Fibonacci

Permainan sulap ini lebih tepat diberikan pada materi ”Pola Bilangan” khususnya untuk memberikan pemahaman barisan dan deret. Adapun permainannya sebagai berikut.

– Dibentuk beberapa kelompok dengan anggota masing-masing kelompok 11 siswa (bisa kurang dari 11 dengan catatan beberapa siswa merangkap tugas).

– Siswa pertama diminta menuliskan sebuah bilangan pada kotak pertama yang disediakan.

– misal bilangan yang ditulis 15

– Siswa kedua diminta menuliskan sebuah bilangan yang lain pada kotak kedua, misal ditulis bilangan 23

– Siswa ketiga diminta menjumlahkan bilangan pada kotak pertama dan kedua, serta menuliskan hasilnya pada kotak ketiga. Pada pilihan 15 dan 23 diperoleh

– Siswa keempat diminta menjumlahkan bilangan pada kotak kedua dan ketiga, serta menuliskan hasilnya pada kotak keempat.

– Demikian seterusnya siswa kelima, keenam dan ketujuh diminta menjumlahkan dua bilangan yang tertera pada dua kotak terakhir. Hasil sementara sebagai berikut.

– Siswa ketujuh diminta menyebutkan bilangan yang tertera pada kotak ketujuh, yaitu 259. (Selama siswa pertama sampai dengan siswa ketujuh bekerja guru tidak melihat hasil pekerjaan siswa, guru bisa duduk di meja guru)

– Siswa kedelapan, kesembilan dan kesepuluh diminta melanjutkan mengisi kotak sampai selesai. Guru segera menuliskan sebuah bilangan dan dimasukkan amplop. Selanjutnya guru menjauh dari meja tetapi tetap tidak melihat pekerjaan siswa.

– Siswa kesebelas diminta menjumlahkan semua bilangan mulai dari kotak pertama sampai kotak sepuluh (bila perlu dengan bantuan kalkulator).

– Seolah-olah pemain sulap (dengan ucapan basmalah dan sim salabim) guru meminta siswa kesebelas mencocokkan hasilnya dengan bilangan di dalam amplop. Pasti siswa akan heran dengan hasilnya sama dengan yang tertera dalam amplop.

Sebenarnya dengan permainan sulap matematika tersebut secara tidak langsung siswa menyusun barisan yang sesuai dengan aturan Barisan Fibonacci. Dengan menjumlahkan 10 barisan yang diketahui siswa mengenal deret ke sepuluh dari Barisan Fibonacci. Permainan ini sebaiknya diberikan sebelum pembelajaran pola bilangan. Dengan “ketertarikan” siswa akan cara menemukan jawaban, siswa diajak mempelajari materi pola bilangan.

Adapun rahasia permainan tersebut sebagai berikut.

– Misal siswa pertama memilih bilangan A, siswa kedua memilih bilangan B maka bilangan yang tertera pada masing-masing kotak dapat disajikan dalam tabel berikut.

KOTAK KE	BILANGAN
1	A
2	B
3	A + B
4	A + 2B
5	2A + 3B
6	3A + 5B
7	5A + 8B
8	8A + 13B
9	13A + 21B
10	21A + 34B
JUMLAH	55A + 88B

– Perhatikan hubungan antara bilangan ketujuh dan jumlah bilangan, jumlah seluruh bilangan adalah sebelas kali bilangan ketujuh. Jadi sebenarnya bilangan yang ditulis guru dalam amplop adalah sebelas kali dari bilangan yang disebutkan siswa ketujuh.

C. Penutup

Keempat permainan tersebut merupakan sebagian dari permainan sulap matematika yang telah disusun dan dikembangkan dari berbagai sumber dan masih banyak permainan sulap matematika lain yang sudah dikembangkan, tetapi tidak mungkin disajikan semua pada tulisan ini.

Dalam satu kesempatan telah dilakukan penelitian dengan menggunakan permainan sulap matematika ini. Hasilnya menunjukkan adanya perubahan positif, artinya setelah disajikan permainan sulap matematika ada pergeseran persepsi siswa dari mata pelajaran matematika sebagai mata pelajaran yang tidak menyenangkan menuju mata pelajaran matematika sebagai mata pelajaran yang menyenangkan.

DAFTAR RUJUKAN

Ahmad, dkk. 1999. Pegangan Guru Matematika untuk Kelas III. Bandung: CV Multi Trust.

Bolt, Brian. 1984. Kumpulan Permainan dan Teka-teki Matematika yang Mengasyikkan. Terjemahan oleh Benyamin Ardi. 1989. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.

Bolt, Brian. 1989. Permainan dan Teka-teki Matematika yang Lebih Mengasyikkan. Terjemahan oleh Bambang Sumantri. 1990. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.

Perelman, Yacov. Asah Otak Ala Rusia. Terjemahan oleh Budi Bantoso. 1997. Semarang: Dahara Prize.

Rusefendi, E. T. 1980. Pengajaran Matematika Modern untuk Orang Tua Murid, Guru dan SPG. Bandung: Tarsito.

Wahyudin dan Sudrajat. 2003. Ensiklopedi Matematika Untuk SLTP (Topik-topik Pengayaan Matematika). Jakarta: CV Tarity Samudra Berlian.

Sulap angka 1-8

Sulap angka 1

SULAP ANGKA
pilih 1 penonton diantara kumpulan penonton
-mintalah kepada penonton untuk menulis 3 angka misalkan 579 tanpa memberitahu anda

-mintalah kepada penonton untuk membalikkan angka tadi misalkan: 579 skg di balik menjadi 975

-lalu pesulap menyuruh untuk mengurangkan ke2 bilangan tersebut
ingat yg di atas adalah angka yg terbesar dan sebaliknya

-lalu penonton mengurangkan hasilnya
975-579=396

-lalu pesulap meminta penonton untuk memberitahukan angka yg depan

-lalu penonton mengatakan “3″

-lalu dengan segera pesulap dapat segera mengetahuinya yaitu 396

rahasianya

bilangan di tengah selalu merupakan angka 9 jika penonton mengatakan 3 lalu anda tinggal mengurangkan angka 9 dgn 3=6

jadi hasil seluruhnya 396

Sulap angka 2

-cari seorang penonton pastikan dia bisa menghitung perkalian penambahan ama pembagian

-suruh dia memikirkan angka 1-10,lalu suruh dia menyimpannya di dalam hati.

-lalu anda bilang ke penonton tersebut kalikan angka yg anda pilih dengan angka 2

-lalu setelah sudah di tambah dengan angka yg tadi di simpan

-trus dibagi angka pilihan yg tadi di simpan

-trus pesulap tadi merenung sejenak,saat ini penonton sudah memegang angka yg tadi di sebut yaitu 3 -lalu pesulap tadi mengatakan “jumlah seluruh nya 3 khan”.

-penonton pasti mengatakan “koq tahu” rahasianya: rumusnya seperti ini

y x a +y : y

keterangan

y=angka yg di pilih penonton

a=pengalian contohnya seprti ini saya di tanya seorang pesulap “silakan anda pilih angka1-10 trus saya menyimpan angka 3 di dalam hati lalu pesulap mengatakan kalikan 2 dengan angka yg anda pilih lalu3*2=6 lalu di tanya lagi tambahkan lagi dengan angka yg saya pilih 6+3=9 pesulap tanya lagi bagikan lagi dengan angka yg saya pilih 9:3=3 rahasianya amatlah mudah saat akan mengalikan umpama angka 2 trus ditambahkan saja dengan 1 jadi 2+1=3 mudah khan!!!!!!! jadi sulap ini hanya mengandalkan perkalian saja dan ditambahkan angka 1

Sulap angka 3

Menebak angka di dalam hati

-suruh seseorang memikirkan sembarang angka

-suruh dia untuk menghitung dengan rumus
y x 2 + 5 x 5 + 4=hasil(y=angka penonton)

cara menebak:

hasil terdiri dari 2 ato 3 angka & angka terakhir merupakan angka 9

untuk menebak:

jika hasilnya terdiri dr 2 angka kurangi angka depan (hny angka depan) dgn 2

contoh hasil pernonton 69=6-2=4 berarti angka yg di pikir penonton adalah 4

jika terdiri dari 3 angka kurangi 2 angka dengan bilangan 2

contoh hasil 109=10-2=8 berarti angka yg dipiir penonton 8

so!!! kalo dia bilang 69 berarti angka yg di pikir td adalah 4 (6-2=4)
catt:sebenarnya angka boleh ampe jutaan,cuma kek-nya ga ungkin kita nyuruh orang ngitung pake metode awangan ….o ya spt yg gwe bilang td,berapapun hasilnya angka belakang pasti 9

Sulap angka 4

suruh orang bayangin angka misalnya 15 dan anda tdk tahu.

trus suruh nambah angka terserah anda misal 2 nah pas di situ anda olah aja angkanya sendiri yg penting nanti angkanya kembali ke angka di tadi yaitu 17,trus dikurangi dengan angka yg di simpan tadi yaitu 15 jadi 15-7=2

jadi angka terakhir sudah dapat yaitu 2

rumusnya spt ini(triknya)

y+A+B+C-D=E-Y=A

CONTOH:

15 +2 +5 +10 -15=17 – 15=2

keterangan

y=angka yg di bayangin

A=angka pertambahan

B=angka pertambahan

C=angka pertambahan

D=angka yg di kurangkan dari B&C

E=hasil akhir

Sulap angka 5

-tulis sebuah angka 1089 di atas secarik kertas lalu lipat kertas tsb&letakkan di atas meja(prediksi)

-anda minta kpd salah seorang penonton utk menentukkan 3 angka seperti tadi

-setelah selesai balikkan angkanya lalu dikurangi

-setelah selesai balikkan angkanya lalu ditambahkan

-penonton sudah mendapatkan angkanya

-berikan prediksi tadi kpd penonton

-ternyata jawaban penonton dengan pesulap sama yaitu 1089

rahasianya:

misal bil.yg di pilih penonton td 123

cont:

321

123

_____ –

198

891

_____ +

1089

berapapun angkanya jumlah seluruhnya pasti 1089

Sulap angka 6

Dengan trik sulap ini, ada bisa memanipulasi pikiran 5000 atau lebih penonton dalam waktu yang bersamaan.

Note : Trik magic ini bisa anda gunakan sebagai pembuka, dan anda bisa mengatakan bahwa “Saya akan membagikan sebuah trik membaca pikiran yang nanti bisa dilakukan oleh anda semua (penonton) di rumah.”

Prosedur
1. Katakan bahwa anda akan mencoba memanipulasi pikiran seluruh penonton yang ada dengan angka (Jika perlu sediakan papan tulis untuk menuliskan instruksi anda sehingga dapat dilihat oleh audiens). Anda bisa berkata “Silakan pilih angka berapapun dari 0 hingga satu milyar, bahkan hingga satu trilyun, tapi usahakan angka yang sederhana saja, karena kita akan bermain dengan sedikit hitungan”.
2. Perintahkan para penonton untuk mengalikan dua angka yang telah dipilihnya tadi.
3. Kemudian tambah dengan enam.
4. Bagi dua
5. Kurangi angka tersebut dengan angka yang pertama kali dipikirkan.
6. Pasti hasilnya 3!

Kuncinya adalah pada poin no.3. Berapapun angka yang anda minta tambahkan, pasti hasilnya setengah dari angka yang ditambahkan tersebut. Misal anda meminta menambah 8, pasti hasil akhirnya 4. Agar tidak tampak seperti rumus, setelah langkah ke-5, anda bisa meminta satu penonton untuk menyebutkan tanggal lahirnya, dan minta seluruh audiens untuk menjumlahkan angka yang mereka peroleh dengan tanggal lahir tersebut. Pasti hasilnya tetap sama.

Catatan : Walaupun trik ini terkesan sangat sederhana dan seperti “mainan anak SD”, tapi cukup efektif untuk merebut simpati penonton di awal pertunjukan

Sulap angka 7

gilaxxxxxx ampe segitunya gwe posting sulap angka ampe ke 7 gpp deh buat nyenengin pengunjung

to the point aja

-suruh orang mikir 4 angka  misal 2134

-lalu anda menuliskan angka 22132 di kertas untuk predikisi

-setelah selesai menulis bil.suruh penonton tadi  untuk mencari 4.angka lagi misal 3760

-setelah selesai,anda membantunya dengan angka 6239

-suruhlah penonton untuk mencari 4 angka lagi mis.1670

anda membantunya dengan angka 8329

lalu semuanya di jumlah liat gambar

cont diatas tadi

-tenyata jawaban pesulap dengan penonton sama yaitu 22132

rahasianya:

angka pilihan penonton pertama kali dikurangi dengan 2 dan depan tambahkan dengan angka 2 jadi 2134 dikurangi dengan 2=2132 depan tambahkan 2 jadi 22132

lalu saat pesulap membantu dengan angka tsb karena akan mengarahkan ke prediksi tadi

caranya

dengan kata kunci 99999- angka penonotn

pesulap memilih 6239 karena pilihan penonton ke2 3760 jadi 9999-3760=6239

pesulap memilihg 8329 karena pilihan penonton ke4 1670 jadi 9999-1670=8329

mudah khan!!!!!!!!

Sulap angka 8

Tau tidak,?! Kalau seorang mentalist mampu menghitung lebih cepat daripada orang normal lain. Saya akan ajarkan sebuah permainan menghitung.
Ini triknya:
Siapkan 4 potong kertas karton, terserah anda pilih mana yang depan dan mana yang belakangya.

Anda ajak 2 orang dalam permainan ini, anggap saja 2 orang ini bernama A dan B. Anda suruh si A mengacak kartontersebut, boleh dibalik(depan jadi belakang/belakang jadi depan). Sehingga membentuk susunan baru. Misal setelah di acak oleh si A susunannnya menjadi

Suruh si B menjumlahkannya dengan menggunakan kalkulator, sedangkan anda juga menghitung. Di sini lah pembuktian kelebihan anda dalam permainan ini. Anda bisa menjumlahkannya lebih cepat daripada si B.
3954 + 8103 + 6528 + 4466 + 7272 = 30323
Anda lihat hasilnya adalah 30323, anda bisa mendapatkan hasilnya lebih cepat dengan hanya menjumlahkan 22220 + 8103 = 30323
Jadi, anda hanya tinggal menjumlahkan 22220 dengan angka yang berada di urutan ke2…

jadi rahasianya pada urutan nomor 2 lalu di tambah 22220

NB:ANGKANYA JANGAN DI GANTI

Urutan karton boleh di acak sampai bagaimanapun misal yg depan jadi posisi akhir dst

Sulap MTK Untuk Menyatakan Cinta

Sulap Angka untuk menyatakan cinta

Ini adalah sebuah permainan yang simpel, bahkan dapat dikatakan “amat sangat simpel”, trik ini sangat tepat dimainkan untuk dipersembahkan kepada orang yang anda sayangi, atau dalam rangka ‘menembak’ calon kekasih anda.

– EFFECT :

Anda dapat memprediksi hasil akhir perhitungan matematis dengan tepat menggunakan angka-angka yang dipilih penonton dengan sentuhan cinta…

– ALAT :

1. Papan tulis (whiteboard)

2. Spidol

3. Kertas (untuk prediksi)

– PERSIAPAN :

1. Bentuk kertas menjadi persegi panjang, lipat menjadi 3 bagian, bagian tengah lebih panjang daripada bagian kanan dan kiri.

2. Buatlah prediksi angka 61274, namun cara menulisnya seperti ini :

Jika angka tersebut dibaca maka angka 6 seperti C, angka 1 seperti I, angka 2 seperti N angka 7 seperti T dan angka 4 seperti A, maka 61274 = CINTA

3. Tuliskan kata ‘aku’ dan ‘kamu’ seperti gambar berikut:

– STEPS :

1. Mintalah orang yang anda cintai atau orang yang akan anda tembak untuk naik ke atas panggung.
2. Ceritakan bahwa biasanya seseorang mengungkapkan cinta kepada pasangannya dengan menggunakan rayuan, pujian, ataupun ungkapan, semua itu diwujudkan dengan kata-kata. Tapi karena anda adalah magician, anda tak mau menyatakan cinta dengan kata-kata seperti pasangan-pasangan lain, tapi anda akan membuktikan bahwa anda akan menyatakan cinta menggunakan angka-angka. Sebenarnya masih banyak sisi lain yang misterius dari angka-angka dan anda akan mengungkap salah satu misterinya, melalui permainan ini akan terbukti bahwa ANGKA JUGA CINTA.

3. Katakan bahwa anda akan bermain semua jenis model perhitungan, yaitu penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian.

4. Minta spectator untuk menyebut angka sembarang, semakin banyak digit semakin seru, misal 2009, lalu anda menulisnya di papan tulis. (spectator = penonton atau orang yang kita ajak bermain sulap)

4. Minta spectator menyebut angka lagi, misal 9002, lalu tambahkan dengan angka pada poin no 3 (2009+9002=11011)

5. Minta spectator menyebut angka lagi yang lebih kecil dari hasil angka pada poin 4 (lebih kecil dari 11011) misal 111, lalu kurangkan dengan poin no 4 (11011-111=10900)

6. Minta spectator menyebut angka kecil, misal 2 lalu bagikan dengan poin no 5 (10900:2=5450)

7. Kali ini anda yang menentukan angkanya, dan inilah kuncinya, yaitu angka yang anda tentukan harus angka kelipatan 9, misal 27, lalu kalikan dengan poin no 6 (5450×27=147150)

8. Jumlahkan setiap digit dari hasilnya hingga mencapai 1digit terakhir (147150 >> 1+4+7+1+5+0=18 >> 1+8=9) berapapun angkanya, pasti hasilnya 9, kemudian tambahkan dengan angka yang telah ada di papan, yaitu 61265 (9+61265=61274)

9. Buka prediksi dengan cara menunjukkan angkanya terlebih dahulu, lalu suruhlah spectator mencermati prediksi itu, dan saat spectator mengeja kata ‘CINTA’ maka bukalah ke2 sisinya, dan akan menjadi tulisan ‘AKU CINTA KAMU’

10. Ungkapkan seluruh perasaan anda kepadanya^^

Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

Persamaan garis singgung lingkaran melalui titik diluar lingkaran

Ada beberapa metode atau teknik untuk memyelesaiakan masalah ini antara lain:

• Menggunakan rumus
• Menggunakan rumus garis singgung bergradien m
• Menggunakan persamaan garis polar.

Menggunakan rumus
Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x₁,y₁) pada lingkaran (x-a)²+(y-b)²= r² adalah :
y-y₁=m(x-x₁)

dimana:

m =

Rumus ini sangat praktis digunakan tetapi sangat sulit dihafal, sehingga disarankan rumus ini hanya digunakan untuk mengecek hasil dari perhitungan menggunakan rumus Persamaan garis singgung dengan gradient atau garis polar

Contoh 1:
Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x² + y² = 25 yang melalui titik A(7,1)

Jawaban:

Gradien garis singgung pada lingkaran berpusat di (0,0) dengan jari-jari 5 dan melului titik (7,1) adalah

m	=
m	=
m1	= atau m2= –

Karena 7² + 1² = 50 > r² maka titik A diluar lingkaran

Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 25 melalui titik A(7,1) adalah :

• Persamaan garis singgung 1 yang melalui m₁= adalah
  y= (x-7)+1

  3y=4x-28+3

  4x-3y=25

 

• Persamaan garis singgung 2 yang melalui m₂=- adalah
  y= – (x-7)+1

  4y=-3x+21+4

  3x+4y=25

Menggunakan rumus persaan garis singgung bergradien m
Teknik ini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan, persamaan 1 (satu) adalah garis melalui A(x₁,y₁) dan persamaan 2 (dua) adalah persamaan garis singgung bergradien m.

Contoh:
Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang melalui titik A(7,1)

Jawaban:

Persamaan 1	y-y1 = m(x-x1) y-1 = m (x-7) y= mx –7m +1	……….. i)
Persamaan 2	y= mx r y= mx 5	……….. ii)

Dari persamaan 1 dan 2 disamakan diperoleh :
Persamaan 1 = Persamaan 2
mx 5 = mx –7m +1
5 = –7m +1
25 ( 1+m²)= 49m²– 14m +1
25+ 25m²= 49m²– 14m +1
24 m² –14m-24 =0
(4m+3)(3m-4)=0
m₁= – atau m₂ =

Persamaan garis singgung 1 dengan m₁= adalah
y= (x-7)+1
3y=4x-28+3
4x-3y=25

Persamaan garis singgung 2 dengan m₂=- adalah
y= – (x-7)+1
4y=-3x+21+4
3x+4y=25

Menggunakan persamaan garis polar
Teknik ini menggunakan rumus garis polar xx₁ + yy₁ = r₂

Langkah-langkah :

• tentukan persamaan garis polar xx₁ + yy₁ = r²
• tentukan titik potong garis polar dengan lingkaran (T1 dan T2)
• subtitusikan dua titik potong tersebut ke persamaan garis singgung xx₁ + yy₁ = r²

Contoh:
Tentukan persamaaan garis singgung lingkaran, x² + y² = 25 yang melalui (7,1)

Jawaban:

Persamaan garis polar adalah :
xx₁ + yy₁ = r²
7x + y = 25
y= 25-7x

Titik potong garis polar dengan lingkaran adalah :
x² + (25-7x)² = 25
x² + 625-350x +49 x² = 25
50×2 -350x +600 = 0
x² –7 x +12 = 0
(x-3)(x-4)=0
x=3 atau x=4

Untuk x=3 diperoleh y= 25-7.3 y= 4, sehingga titik potongnya ( 3,4)
Untuk x=4 diperoleh y= 25-7.4 y= -3, sehingga titik potongnya ( 4,-3)

Persamaan garis singgung 1 melalui titik singgung ( 3,4 ) adalah :
xx₁ + yy₁ = 25
3x + 4y = 25

Persamaan garis singgung 2 melalui titik singgung ( 4,-3 ) adalah :
xx₁ + yy₁ = 25
4x – 3y = 25

Limit Fungsi

A. Pengertian Limit Fungsi

Limit merupakan salah satu pengetahuan dasar untuk mempelajari diferensial dan integral. Pada pasal ini kita akan mempelajari limit untuk fungsi-fungsi yang sederhana.

Contoh 1 :

Perhatikan fungsi f(x) = 2x + 1 untuk x Є real, kita ambil untuk nilai x mendekati 3 maka nilai f(x) = 2x + 1 hasilnya akan tampak pada tabel di bawah ini :

x	…	2,96	2,98	2,99	3	3,01	3,02	3,04	…
f(x) = 2x + 1	…	6,92	6,98	6,98	7	7,02	7,04	7,08	…

 

Dari tabel di atas terlihat bahwa jika x bergerak semakin dekat ke 3 nilai f(x) bergerak semakin dekat ke 7. Dalam matematika hal ini dapat dibaca “ jika x mendekati 3 maka 2x + 1 nilainya mendekati 7 atau limit dari f(x) = 2x + 1 mendekati 3 adalah 7”.

Dalam notasi ditulis :

 

 

Contoh 2 :

Perhatikan fungsi untuk semua x kecuali x = 3.

Fungsi f(x) dapat ditulis .

Selanjutnya kita lihat nilai f(x) untuk x yang mendekati 3, hasilnya tampak pada tabel di bawah ini :

x	…	2,96	2,98	2,99	3	3,01	3,02	3,03
f(x)	…	5,92	5,96	5,98	…	6,01	6,02	6,03

 

Dari tabel di atas terlihat jika x bergerak semakin dekat ke 3 maka nilai f(x) semakin dekat ke 6. Jadi limit f(x) jika mendekati 3 adalah sama dengan 6 ditulis :

 

 

 

 

B. Limit Fungsi Aljabar

1. Jika variabelnya mendekati bilangan real

Cara penyelesaiannya :

a. Langsung disubstitusikan asal hasilnya bukan bilangan tak tentu. Bilangan tak tentu adalah

b. Jika disubstitusikan menghasilkan bilangan tak tentu maka terlebih dahulu harus :

disederhanakan

difaktorkan

disubstitusikan

Contoh :

1).

Karena hasilnya bukan bilangan tak tentu maka

 

2).

 

 

 

 

2. Jika variabelnya mendekati ~

Untuk menyelesaikan limit yang variabelnya mendekati ~ (tak hingga), maka caranya pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi. Untuk setiap n bilangan bulat positif maka

Rumus rumus Trigonometri

Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Trigonometri (berasal dari bahasa Yunani yaitu: trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri juga memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Kuadran dalam Trigonometri:

 

 

Kali ini, akan disinggung sedikit mengenai rumus-rumus yang biasa dipakai di dalam Trigonometri. Di antaranya adalah “Rumus-rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut”.

Rumus untuk “Sinus”:

Rumus untuk “Cosinus”:

Rumus untuk “Tangen”:

Peluang

Kaidah Pencacahan

Untuk mengerti tentang Kaidah Pencacahan dalam peluang, pertama-tama, perhatikanlah contoh-contoh di bawah ini:

Contoh 1:
Untuk pergi dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan  3 jalan. Dan kota B ke kota C dapat ditempuh dengan 2 jalan. Dengan berapa cara seseorang dapat pergi dari kota A ke kota C melalui kota B?

Skema Kota A, B, C

(Jawaban)
Kita buat skema kota dengan jalan yang bisa ditempuh. Lihat gambar di samping.

Cara tempuh kota A-kota C

Lalu, dari gambar tersebut, kita dapat menemukan jawabannya, perhatikan gambar di samping.

Maka, dari gambar di samping dapat diketahui bahwa terdapat 6 cara yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C melalui kota B.
Namun, bagaimana bila terdapat lebih dari 5 cara dari kota A ke kota B dan dari 7 cara dari kota B ke kota C?
Nah, bila diperhatikan, maka dapat kita ambil sebuah kesimpulan dari penyelesaian di samping, dengan melihat bahwa ada 3 jalan dari kota A ke kota B, dan 2 jalan dari kota B ke kota C, maka kita akan mendapatkan hasil yang sama dengan cara yang singkat, yaitu dengan mengkalikan keduanya, 3 x 2 = 6. Maka, bila terdapat soal sejenis dengan jalan yang banyak, kita tinggal mengkalikannya saja.

Contoh 2:
Terdapat bilangan 1,2,3, dan 4. berapa banyak bilangan yang terdiri atas 2 angka dapat dibentuk, di mana tidak boleh ada angka pengulang.

(Jawaban)

Penyelesaian

Lihat gambar di samping. Maka, ada 12 bilangan yang dapat dibentuk.
Bila. kita perhatikan, maka kita dapat menggunakan cara yang lebih singkat untuk menyelesaikan soal di atas (dan soal sejenis).

Perhatikan:
Bilangan terdiri dari 2 angka, maka 2 angka itu adalah, angka puluhan, dan satuan, dan tidak boleh ada angka pengulang.
Maka, dalam kasus di soal ini, kita dapat simpulkan:
Puluhan: 4 cara
Satuan:  3 cara.
maka, 4 x 3 = 12.
Dengan begitu, kita dapat menyelesaikan soal yang sejenis, berapa pun banyaknya.

KESIMPULAN
Jika suatu peristiwa dapat terjadi dalam p cara yang berbeda dan setelah peristiwa itu terjadi, kemudian peritiwa lain terjadi dalam q cara yang berbeda, maka kedua peristiwa itu dapat terjadi dalam p x q cara yang berbeda

Statistika

PENGERTIAN DASAR

 

Pendahuluan

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data.

Istilah ‘statistika’ (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan ‘statistik’ (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.

Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.

Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.

Sejarah

Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium (“dewan negara”) dan bahasa Italia statista (“negarawan” atau “politikus”).

Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai “ilmu tentang negara (state)”. Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi “ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data”. Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.

Konsep dasar

Populasi adalah kumpulan dari keseluruhan pengukuran, obyek, atau individu yang sedang dikaji sedangkan Sampel adalah bagian dari suatu populasi. Bilangan/angka yang menggambarkan karakteristik populasi disebut Parameter, sedangkan bilangan/angka yang menggambarkan karakteristik sampel disebut Statistik

Pengumpulan data untuk seluruh populasi dinamakan sensus. Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel nantinya digunakan untuk menggeneralisasi seluruh populasi.

Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan) dan kesimpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil sampel yang tepat dinamakan teknik sampling.

Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya hal terlihat banyak digunakannya uji statistika yang mengambil dasar pada sebaran peluang. Sedangkan matematika statistika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematika untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika.

Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial.

• Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna.
• Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis, melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya.

 

Tipe pengukuran

Ada empat tipe pengukuran atau skala pengukuran yang digunakan di dalam statistika, yakni: nominal, ordinal, interval, dan rasio. Keempat skala pengukuran tersebut memiliki tingkat penggunaan yang berbeda dalam riset statistik.

• Skala nominal hanya bisa membedakan sesuatu yang bersifat kualitatif (misalnya: jenis kelamin, agama, warna kulit).
• Skala ordinal selain membedakan juga menunjukkan tingkatan (misalnya: pendidikan, tingkat kepuasan).
• Skala interval berupa angka kuantitatif namun tidak memiliki nilai nol mutlak (misalnya: tahun, suhu dalam Celcius).
• Skala rasio berupa angka kuantitatif yang memiliki nilai nol mutlak.

Teknik-teknik statistika

Beberapa pengujian dan prosedur yang banyak digunakan dalam penelitian antara lain:

• Analisis regresi dan korelasi
• Analisis varians (ANOVA)
• khi-kuadrat

Statistika Terapan

Bebebarapa ilmu pengetahuan menggunakan statistika terapan sehingga mereka memiliki terminologi yang khusus. Disiplin ilmu tersebut antara lain:

• Aktuaria (penerapan statistika dalam bidang asuransi)
• Biostatistika atau biometrika (penerapan statistika dalam ilmu biologi)
• Statistika bisnis
• Ekonometrika
• Psikometrika
• Statistika sosial
• Statistika teknik atau teknometrika
• Fisika statistik
• Demografi
• Eksplorasi data (pengenalan pola)
• Literasi statistik
• Analisis proses dan kemometrika (untuk analisis data kimia analis dan teknik kimia)

Statistika memberikan alat analisis data bagi berbagai bidang ilmu. Kegunaannya bermacam-macam: mempelajari keragaman akibat pengukuran, mengendalikan proses, merumuskan informasi dari data, dan membantu pengambilan keputusan berdasarkan data. Statistika, karena sifatnya yang objektif, sering kali merupakan satu-satunya alat yang bisa diandalkan untuk keperluan-keperluan di atas.

 

Peranan, perlunya dan fungsi statistik

Peranan statistik :

1. Dalam kehidupan sehari-hari

Dalam kehidupan sehari-hari statistik memiliki peranan sebagai penyedia keterangan-keterangan untuk diolah dan ditafsirkan

2. Dalam penelitian

Dalam penelitian ilmiah statistic digunakan sebagai alat untuk menemukan keterangan-keterangan dalam angka-angka hasil penelitian

3. Dalam ilmu pengetahuan

Dalam ilmu pengetahuan statistik digunakan sebagai peralatan analis dan interpretasi dari data kuantitatif ilmu pengetahuan sehingga didapat pengetahuan dari data tsb.

Perlunya statistik :

Perlunya  mempelajari statistik karena statistik sebagai alat bantu dalam hal-hal sbg berikut :

1. menjelaskan hubungan antara variabel
2. membuat rencana dan ramalan
3. mengatasi berbagai perubahan
4. membuat keputusan yang lebih baik

Fungsi Statistik :

1. sebagai bank data, menyediakan data untuk diolah dandiinterpretasikan agar dapat dipakai untuk menerangkan keadaan yang perlu diketahui
2. sebagai alat quality control, sebagai alat pembantu standarisasi dan alat pengawasan
3. sebagai alat analisis
4. pemecah masalah dan pembuatan keputusan

 

Pembagian statistik berdasarkan ruang lingkup penggunaannya:

1. Statistik social
2. Statistik pendidikan
3. Statistik ekonomi
4. Statistik perusahaan
5. Statistik pertanian
6. Statistk kesehatan

Pembagian statistik berdasarkan bentuk parameternya:

1. Statistik parametrik

Statistik parametrik adalah bagian statistik yang parameternya dari populasinya mengikuti suatu distribusi tertentu.

2. Statistik nonparametrik

Statistik parametrik adalah bagian statistik yang parameternya dari populasinya tidak mengikuti suatu distribusi tertentu

 

Metodologi Statistik

Metodologi statistik dalam menyelesaikan masalah mempunyai tahapan-tahapan sbb:

1. Identifikasi masalah
2. Pengumpulan data atau fakta

Pada tahap ini data dikumpulkan berdasarkan permasalahan. Data yang dikumpulkan bisa berupa data primer ( data yang berasal dari sumber langsung) atau berupa data sekunder ( data yang berasal tidak langsung dari sumber). Data yang diambil harus bersifat :

1. akurat, artinya harus sesuai dengan keadaan yang sebenarnya
2. up to date, artinya harus tepat waktu
3. komprehensif, artinya harus dapat mewakili
4. relevan, artinya harus ada hubungannya dengan masalah yang diambil
5. memiliki kesalahan baku kecil
2. Klasifikasi data

Data yang ada diidentifikasikan berdasarkan kemiripan atau kesamaan sifat, kemudian disusun dalam kelompok-kelompok.

4. Penyajian data

Pada tahap ini data disajikan bias dalam bentuk tabel, grafik atau ditampilkan nilai-nilai deskriptifnya

5. Analisis data

Pada tahap ini data dianalisis untuk diambil kesimpulan dari permasalahan, hasilnya berupa keputusan.

 

Jenis Data

A. Jenis Data Menurut Cara Memperolehnya

1. Data Primer

Data primer adalah secara langsung diambil dari objek / obyek penelitian oleh peneliti perorangan maupun organisasi. Contoh : Mewawancarai langsung penonton bioskop 21 untuk meneliti preferensi konsumen bioskop.

2. Data Sekunder

Data sekunder adalah data yang didapat tidak secara langsung dari objek penelitian. Peneliti mendapatkan data yang sudah jadi yang dikumpulkan oleh pihak lain dengan berbagai cara atau metode baik secara komersial maupun non komersial. Contohnya adalah pada peneliti yang menggunakan data statistik hasil riset dari surat kabar atau majalah.

B. Macam-Macam Data Berdasarkan Sumber Data

1. Data Internal

Data internal adalah data yang menggambarkan situasi dan kondisi pada suatu organisasi secara internal. Misal : data keuangan, data pegawai, data produksi, dsb.

2. Data Eksternal

Data eksternal adalah data yang menggambarkan situasi serta kondisi yang ada di luar organisasi. Contohnya adalah data jumlah penggunaan suatu produk pada konsumen, tingkat preferensi pelanggan, persebaran penduduk, dan lain sebagainya.

C. Klasifikasi Data Berdasarkan Jenis Datanya

1. Data Kuantitatif

Data kuantitatif adalah data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka. Misalnya adalah jumlah pembeli saat hari raya idul adha, tinggi badan siswa kelas 3 ips 2, dan lain-lain.

2. Data Kualitatif

Data kualitatif adalah data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang mengandung makna. Contohnya seperti persepsi konsumen terhadap botol air minum dalam kemasan, anggapan para ahli terhadap psikopat dan lain-lain.

D. Pembagian Jenis Data Berdasarkan Sifat Data

1. Data Diskrit

Data diskrit adalah data yang nilainya  tercacah.

2. Data Kontinyu

Data kontinyu adalah data yang nilainya terletak pada suatu interval tertentu. Contohnya adalah berat badan ibu-ibu, IP mahasiswa

E. Jenis-jenis Data Menurut Waktu Pengumpulannya

1. Data Cross Section

Data cross-section adalah data yang menunjukkan titik waktu tertentu. Contohnya laporan keuangan per 31 desember 2006, data pelanggan PT. angin ribut bulan mei 2004, dan lain sebagainya.

2. Data Time Series / Berkala

Data berkala adalah data yang datanya menggambarkan sesuatu dari waktu ke waktu atau periode secara historis. Contoh data time series adalah data perkembangan nilai tukar dollar amerika terhadap euro eropa dari tahun 2004 sampai 2006, jumlah pengikut jamaah nurdin m. top dan doktor azahari dari bulan ke bulan, dll.

Kebiasaan yang salah

Beberapa kesalahan yang sering kita lakukan setelah makan.

1. Merokok
Para ilmuwan telah menetapkan dengan percobaan bahwa merokok satu batang setelah makan setara dengan merokok 10 batang pada waktu yang lain. Artinya kerusakan dan penyakit yang diakibatkan oleh satu batang rokok setelah maka sama dengan kerusakan dan pentyakit yang diakibatkan oleh 10 batang rokok.

2. Memakan buah-buahan secara langsung
Sesungguhnya mengkonsumsi buah-buahan segera setelah makan akan menyebabkan terisinya perut dengan udara. Oleh karena itu dinasihatkan untuk tidak memakan buah-buah sebelum satu atau dua jam setelah makan, atau bisa juga satu jam sebelum makan.

3. Langsung Meminum Teh
Dikarenakan daun-daun teh banyak mengandung unsur kimia karbon, di mana bahan kimian ini akan mempengaruhi protein yang ada pada makanan yang kita makan dan menjadikannya keras hingga sukar dicerna.

4. Melonggarkan sabuk di perut
Melonggarkan sabuk setelah makan akan menyebabkan mulasnya lambung dan kebuntuannya (penyumbatan usus).

5. Mandi
Langsung mandi setelah makan akan menyebabkan mengalirnya darah ke penghujung tubuh, yaitu ke ujung-ujung tangan dan kaki. Akibatnya jumlah darah yang mengalir di sekitar lambung menjadi sedikit. Hal ini menyebabkan lemahnya proses pencernaan.

6. Berjalan
Termasuk kesalahan fatal adalah keyakinan banyak orang terhadap pernyataan. “Jika engkau berjalan seratus langkah setelah makan, maka sesungguhnya engkau akan menikmati kesehatanmu hingga usia 99 tahun.” Ini adalah pernyataan yang salah, di mana langsung berjalan setelah makan akan menyebabkan lemahnya proses pencernaan.

7. Langsung Tidur
Sesungguhnya langsung tidur setelah makan akan menyebabkan tidak sempurnanya proses pencernaan yang akan menyebabkan kerusakan lambung atau radang lambung.